质点运动学

坐标系

  • 自然坐标系：
    • 以质点运动方向为正方向
    • 曲线长度 s 作为质点位置坐标
      • 切向单位矢量$\overrightarrow{e_r}$：沿曲线切线、指向坐标轴正方向
      • 法向单位矢量$\overrightarrow{e_n}$：沿曲线法线、指向曲线的凹侧
  • 直角坐标系：可用坐标$(x,y,z)$表示

位置矢量

  • 位置矢量（简称位矢）：
    • 定义：参考点O指向空间点P$(x,y,z)$的有向线段
    • 表达式：$\overrightarrow{r_P} = \overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}$
    • 位矢的大小：$r=|\overrightarrow{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
  • 位矢增量（位移）：
    • 定义：空间点A$(x_1,y_1,z_1)$指向空间点B$(x_2,y_2,z_2)的有向线段
    • 表达式：$\overrightarrow{AB} = \Delta\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_B} - \overrightarrow{r_A}$
    • 位移大小：$|\Delta\overrightarrow{r}|=|\overrightarrow{r_B} - \overrightarrow{r_A}|$
  • 注意： 区分位移的大小和位矢大小的增量
    • 位移的大小：$|\Delta\overrightarrow{r}|=|\overrightarrow{r_B} - \overrightarrow{r_A}|$
    • 位矢大小的增量：$\Delta r=|\overrightarrow{r_B}| - |\overrightarrow{r_A}|=r_B-r_A$
    • 一般情况下，$|\Delta\overrightarrow{r}|\neq \Delta r$
  • 运动方程：$f(x, y, z)$：
  • 运动方程矢量式：$\overrightarrow{r}(t)=x(t)\overrightarrow{i} + y(t)\overrightarrow{j} + z(t)\overrightarrow{k}$
  • 位移矢量：$\Delta\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r{t}}-\overrightarrow{r{0}}$

速度&速率

  • 平均速度$\overline{\overrightarrow{v}}=\dfrac{\Delta{\overrightarrow{r}}}{\Delta{t}}$，瞬时速度$\overrightarrow{v}=\dfrac{\mathbb{d}\overrightarrow{r}}{\mathbb{d}t}$
  • 平均速率$\overline{v}=\dfrac{\Delta{s}}{\Delta{t}}$，瞬时速率：$v=|\overrightarrow{v}|$

加速度

  • 平均加速度：$\overline{\overrightarrow{a}}=\dfrac{\Delta\overrightarrow{v}}{\Delta t}$
  • 瞬时加速度：$\overrightarrow{a}=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{\Delta\overrightarrow{v}}{\Delta t}=\dfrac{\mathbb{d}\overrightarrow{v}}{\mathbb{d}t}=\dfrac{\mathbb{d}r^2}{\mathbb{d}t}$

圆周运动在自然坐标系的表示

角

  • 角位置：$\theta$
  • 角位移：$\Delta\theta$
  • 平均角速度：$\overline\omega=\dfrac{\Delta\theta}{\Delta{t}}$，瞬时角速度：$\omega=\dfrac{\mathbb{d}\theta}{\mathbb{d}t}$
  • 角加速度：$\alpha=\dfrac{\mathbb{d}\omega}{\mathbb{d}t}$

圆周运动

  • 切向加速度：$\overrightarrow{a_t}=\dfrac{\mathbb{d}v}{\mathbb{d}t}\overrightarrow{e_t}$（速度大小变化引起）
  • 法向加速度：$\overrightarrow{a_n}=\dfrac{v^2}{r}\overrightarrow{e_n}$（速度方向变化引起）

线量与角量

  • $v=\omega r$
  • $\overrightarrow{a_t}=\alpha r \overrightarrow{e_t}$
  • $\overrightarrow{a_n}=\omega^2 r \overrightarrow{e_n}$

相对运动

  • 运动的描述是相对的。同一物体在不同参考系中测量的状态量具有某些定量关系。
  • 对于两个坐标系：S系 与 S’系
    • S系描述的物理量：$\overrightarrow{r} \enspace \overrightarrow{v} \enspace \overrightarrow{a}$
    • S’系描述的物理量：$\overrightarrow{r’} \enspace \overrightarrow{v’} \enspace \overrightarrow{a’}$

关于非惯性系

  • $v{绝对}=v{相对}+v_{牵连}$（牵连速度是非惯性系本身的速度）

  • $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F’}+\overrightarrow{F_{惯性力}}$（非惯性系本身受到外力，在非惯性系中体现为参考系内的物体受到此外力的反向力，这个力被称为惯性力）

两大问题

  1. 微分法：已知 $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(t)$，求任意时刻 $\overrightarrow{v}(t)$，$\overrightarrow{a}(t)$

  2. 积分法：已知 $\overrightarrow{v_0}$，$\overrightarrow{r_0}$ 及 $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}(t)$ 或 $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}(t)$，求任意时刻 $\overrightarrow{v}$，$\overrightarrow{r}(t)$